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53现代对狭义相对论的推导53（第1页）

爱因斯坦53现代对狭义相对论的推导

参阅现代的物理学教科书及网络上各种涉及爱因斯坦狭义相对论的文章，再对比爱因斯坦提出狭义相对论的论文《论动体的电动力学》和《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》，可以发现现代物理学教科书对狭义相对论公式的推导与爱因斯坦狭义相对论论文的原推导思路并不相同。

现代物理学教科书对狭义相对论公式的推导主要根据简单的微积分结合力学公式，在添加上光速不变原理和狭义相对性原理的前提下，简简单单的就推出了狭义相对论的结论，而当年爱因斯坦却绕了好大一圈，用了很多比较令人费劲的思路和数学处理手段才得出了相关结论，而且结果往往还不是后来公认公式的普遍形式，好像爱因斯坦当年的理论处理方式对比现代物理学教科书的处理方式更显笨拙，但爱因斯坦之前搞物理和搞数学的都没搞出狭义相对论，这却是比较有意味的一点，下面列出几个现代物理学教科书对狭义相对论公式的推导，方便大家体会下教科书和大师原创理论思路的差异。

1、现代对质能方程E=mc2的推导

当外力作用在静止质量为m0的自由质点上时，质点每经历位移ds，其动能的增量是dEk=F·ds，

设外力作用于质点的时间为dt，则质点在外力冲量F·dt作用下，其动量增量是dp=F·dt，

考虑到v=dsdt，由上两式相除，即得质点的速度表达式为v=dEkdp，

亦即dEk=v·dp=v·d（mv）=v2·dm+mv·dv

根据洛伦兹变换，得质量的变换公式为m=m0√[（1-v2c2）]，两边平方得m2（c2-v2）=m02c2

对速度v求导，得d[m2（c2-v2）]dv2=d（m0c）2dv

注意到等式右边为0，即上式可化为

m2·d（c2-v2）dv+dm2dv·（c2-v2）=0，

-2vm2+2m（c2-v2）·dmdv=0，

mvdv=（c2-v2）dm

代入上式得dEk=c2·dm。

上式说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能Ek都在增加，质量的增量dm和动能的增量dEk之间始终保持dEk=c2·dm所示的量值上的正比关系。

当v=0时，质量m=m0，动能Ek=0，

据此，将上式积分，即得Ek=òc2dm=mc2-m0c2（积分上下限为m和m0）。

上式是相对论中的动能表达式。爱因斯坦在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，他把m0c2叫做物体的静止能量，把mc2叫做运动时的能量，我们分别用E0和E表示：E0=m0c2，E=mc2，△E=△mc2。

质能方程最著名的形式——E=mc2——就是这么来的，这里的推导说的实质和论文《物体的惯性同它所含的能量有关吗？》是一样的，但推导过程却完全不同，这点读者可以自己体会。

2、现代对相对论速度公式的推导

首先，洛伦兹变换如式6.1所示：

x′=（x-ut）√（1-β2），

y′=y，

z′=z，

t′=（t-x·uc2）√（1-β2）

β=vc。

其次，对式6.1求微分可得：

dx′=（dx-udt）√（1-u2c2），

dt′=（dt-udxc2）√（1-u2c2）。

最后，两式相比得：

dx′dt′=（dx-udt）（dt-udxc2）。

即：

v′x=（vx-u）（1-uvxc2）。

由式6.1中的y′=y得：dy′=dy，则可得：

dy′dt′=[dy·√（1-u2c2）]（dt-udxc2），

v′y=[vy·√（1-u2c2）]（1-uvxc2）。

同理，可得：

v′z=[vz·√（1-u2c2）]（1-uvxc2）

这一段推导对标的就是爱因斯坦的论文《论动体的电动力学》的第五部分《速度的加法定理》，根本不用物理讨论，当年爱因斯坦绕那么大圈研究速度的加法定律，稍微懂微积分的学生按上文的数学处理，分分钟就可以搞出来，是不是就可以嘲笑爱因斯坦笨呢，在论文中搞的那么笨拙。这种看法不知是世人高屋建瓴，还是水平太低，理解不了爱因斯坦论文中复杂推导的根源。

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